数学可以分为两个最主要的分支——纯数学和应用数学二者所使用的数学（问题、技巧和严谨度）在本质上是完全相同的，不同之处或许在于它们的研究动机纯数学擁有一种内在导向的出发点，它关注的是数学本身评估一个问题是否具有价值的重要标准是它是否能导致数学的新发展；而应用数学更偏向于关注建立现实世界感兴趣的事实，更受外在导向的驱使

在数学文化中，那些著名的数学难题是其中非常重要的一部分它们既是對智慧的再创造，也是对智慧的检测与物理不同的是，数学问题并不是由必要性和实践性决定的它们拥有自己的生命，并且非常重视核心人物的意见因此，受著名数学家所拥护的问题也便受到更多的重视

1900年，数学家大卫·希尔伯特发表的23个问题或许是数学中最著名嘚问题其中几个问题在后来对数学的发展产生了巨大的影响。

2000年克莱研究所选出了7个新的数学难题，被称为千禧年大奖难题无论是誰解决了其中一个难题，都将获得100万美元的奖励目前，在这7个问题中只有一个问题已得到了解决。在本文中我们将首先讨论唯一被解决的庞加莱猜想，再探讨6个未解决的问题

1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个与三维空间（“流形”）有关的关键问题在庞加萊猜想中，他提出三维球面（可以通过在普通的三维欧几里得空间的无限远处添加一个点形成）是否是唯一一个能让在球面上的环不断缩減到一个点的三维空间

我们可以通过观察一个球（二维球面）和一个甜甜圈（圆环面）的边界来将庞加莱猜想具象化：在二维球面上的任何环都可以在不离开球面的同时收缩到一个点，但如果是一个绕着甜甜圈上的洞的圆环它就不能在不离开甜甜圈表面的情况下进行收縮。

人们对庞加莱猜想做了许多尝试直到2003年，年轻的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼出现了他公布了一个绝妙的解决方案。

佩雷尔曼的思想建立在另外两位杰出数学家威廉·瑟斯顿和理查德·汉密尔顿的工作之上

在20世纪70年代末，瑟斯顿观察到已知的三维空间能以┅种自然的方式被分割成小块，让每个小块都具有统一的几何形状他做了一个大胆的“几何化猜想”，认为这对所有的三维空间都应该適用这个几何化猜想预言，任何一个能让表面的环收缩到一个点的三维空间都应该有一个圆形度规——它将是一个三维球体。如果这個猜想成立那么庞加莱猜想也随之成立。

到了1982年汉密尔顿提出了一种几何分析的新技术——里奇流（如上图所示），他一直在寻找一種流函数能让函数的能量在达到最小值之前一直减小，这种流动与热能在材料中的传播紧密相关汉密尔顿认为空间的几何形状应该有類似的流动。他指出对于里奇曲率为正的三维空间，流动会逐渐改变形状直到度规满足瑟斯顿的这种几何猜想。

汉密尔顿想到可以讓空间的形状在里奇流的作用下不断演变。他发现空间可能会形成一个奇点出现一个变得越来越薄的区域，直到将空间分裂成两个更小嘚空间他希望能完全理解这一现象，让这些空间的“碎片”在里奇流的作用下不断演化直到出现瑟斯顿所预测的那种几何结构。

就在這时佩雷尔曼突然出现了。

佩雷尔曼是一个年轻有为的数学家在他的职业生涯中，他曾“莫名的”神隐了将近十年的时间当他再次絀现时，便宣称自己完成了汉密尔顿的想法他上传了一系列论文到arXiv，这些论文引起了极大的轰动接下来的几个月，许多小组开始相继研究佩雷尔曼的工作最后，所有人都确信佩雷尔曼确实成功了几何化和庞加莱猜想都得到了解答！

后来的故事相信大多数人都知道，佩雷尔曼因解决了这一千禧年大奖难题而被授予菲尔兹奖和100万美元奖金。但他拒绝了这些荣誉和奖赏宁愿在圣彼得堡过着平静的生活。但他所作出的成果无疑是这个时代最杰出的数学贡献之一

为什么有些问题比其他问题更难？数学家喜欢根据你需要投入的努力来给难題分类上世纪30年代，艾伦·图灵指出，有些基本任务是不可能通过算法来实现的。用现代术语来说，他所展示的就是我们无法用一个通用嘚计算机程序为“另一个计算机程序在运行时是否最终会停止”这一问题给出肯定或否定的答案。

这个停机问题的不可解性包含了一个哽令人困惑的微妙之处：虽然我们无法预先发现一个程序是否会停机但在原则上，存在一种显而易见的方法可以证明当它是一个停机程序时，那么它就会停止

图灵在最广泛的层面上展示了，从计算的角度来看判断一个陈述“是否正确”比“当它是正确时再去证实它嘚正确性”更难。从图灵问题所衍生出的一系列问题中P与NP之间的关系是其中最著名的一个。

P代表“多项式时间”粗略地说，它对应的昰具有有效解的计算问题的集合换句话说，它描述的是相对容易的问题——那种普通台式电脑就能解决的问题NP的N代表“非确定性”，NP對应的是那些当答案为“是”时存在一个有效的证明来表明“答案为是”的问题。换句话书NP列出的是一些可能很难，但却很容易检查其答案的问题

所以P vs NP问题所问的便是，P类问题与NP类问题是否相同

看起来，P和NP类问题是不一样的我们以填字游戏为例，这个小游戏之所鉯流行是因为你需要完成一项寻找答案的挑战；但是，没人会想要特地抽空来检查已经完成的填字游戏再比如数独游戏也是如此，游戲本身是一个真正的挑战但检查已完成的答案的正确性却没有什么娱乐价值。如果P=NP那么就好像这些谜题的“发现”部分与“检查”部汾的难度相同。听起来这似乎不可置信但我们并不能确定事实到底是怎样的。

大多数数学家认为P与NP是不同的只是至今他们都无法证明這一点。

如果把数学粗略地分成两部分它们可以是：用于测量的工具和用于识别的工具。比如说如果用于测量的工具是一种收集某个粅体的数据的技术，那么用于识别的工具要处理的问题就是：当你拿到了一堆数据时要如何从数据中识别出它来自于什么物体？霍奇猜想就是代数几何中的一个有关于识别的大难题

在解决数学问题时，数学家经常把一个领域的问题转换成另一个领域的问题比如将代数問题转化成几何问题。这正是我们将一个方程画成图形时所做的如果我们在纸上画出的图形是二维的，这意味着相应的方程只能有两个變量那么如何对拥有三个、四个甚至更多变量的方程使用这个技巧呢？答案在代数几何领域这种转换的思想被推广到了更高的维度。

玳数几何学家使用的技术和概念要比简单的方程和图形复杂得多在20世纪40年代，W·V·D·霍奇致力于开发一种改进版的上同调上同调是一種用于测量曲面边界上的流量和通量（例如流体跨过膜的流动）的工具。经典的上同调可用于理解电流和磁场的流动与分散霍奇将它们精进，成为了后来的“上同调的霍奇分解”

霍奇发现，对跨区域流动的实际测量总是对霍奇分解的一个特定部分特别有用他的猜想是，在任何时候当数据对霍奇分解的这个特定部分显示出贡献时，测量结果就有可能来自一个真实场景下的跨区域的通量和变化系统或鍺用更通俗的话来说，就是霍奇发现了一个测试虚假数据的标准如果霍奇测试的结果呈“阳性”，那么就可以肯定这些数据是假的

而霍奇猜想的问题在于：是否存在一个霍奇测试无法检测到的虚假数据？

目前为止霍奇测试似乎还从未失效过。但数学家还没充分弄清楚咜的运作原理所以或许能绕过霍奇的“安全检测”的方法是有可能存在的。

乘法是我们在小学时最早接触的运算之一而就是这种看似簡单的数学，却隐含着最深奥、最持久、最美丽的奥秘

我们知道，每一个正整数都可以写成是若干个1的和；但乘法运算就没那么简单了例如，数字12能以超过一种方式写成两个更小的因数的乘积但11却只能写成1 x 11。12这样的数被称为合数而11这样的只能被自己或1整除的数被称為素数（或质数）。

素数是数学领域最重要的研究对象之一正如1是整数加法中的基本原子单位一样，素数（1不是素数）是乘法的基本原孓根据算术基本定理，任何大于1的整数都可以写成素数的乘积

素数是密码学的根基，早在公元前300多年欧几里得就证明了素数有无穷哆个，但直到现在数学家仍然不知道它们出现的频率和模式。在欧几里得的几十年之后另一位古希腊数学家埃拉托斯特尼所发现了一種可用于寻找素数的巧妙方法。

比如若想要找出所有小于100的素数我们可以先写下从2到99的所有整数，然后划掉所有2的倍数（不包括2本身）再划掉所有3的倍数（不包括3本身），再划掉5的倍数……以此类推这样，只需4步就能得到25个素数。

这个方法现在被称为埃拉托斯特尼篩法看起来，这似乎是一个非常高效易行的方法但其实若想要找到非常大的素数，则需要采用十分复杂的方法并且要在计算机的帮助下才能实现。

许多伟大的数学家都尝试过广泛地研究素数但直到今天，关于素数仍然是问题多过答案对于数学家来说，关于素数的主要挑战是如何理解它们的分布没有人能预测下一个素数将在哪里出现，但与此同时素数又似乎呈现出某种惊人的规律性：它们精确哋受到某一些定律的约束。

素数定理描述了素数的平均分布它指出，比任意整数字n小的素数的个数大约近似于n除以ln(n)，当n变得越大这個近似的相对误差就会任意变小。在描述素数分布的方面素数定理做得很好，但数学家希望能更好地理解相对误差由此便引出了数学Φ最著名的开放性问题：黎曼假设。

1859年黎曼在一篇论文中提出要如何收紧素数定理，从而控制相对误差

在预测素数方面，黎曼假设不僅仅是比素数定理“做得更好”而是几乎可以说“尽善尽美”。虽然黎曼假设的目的是为了理解素数的规律但它需要运用到非常高等複杂的数学。现在计算机已经验证了这一猜想对大到数以万亿计的素数来说都成立，但我们还是缺少一个真正的证明来表明——这种模式适用于所有可能的素数

去年，已故著名数学家迈克尔·阿蒂亚向这个猜想发起了他最后的挑战但并未成功。希尔伯特曾说：“如果峩在沉睡了一千年后醒来我的第一个问题将是‘黎曼假说是否得到了证实?’”

杨-米尔斯存在性与质量间隙

人类在20世纪作出的一项杰出突破就是发现了物理世界中的量子行为。在非常小的尺度内世界的运转与我们熟悉的“经典”世界非常不同。波粒二象性是量子世界的一個典型特征：一个粒子（比如电子）既可以表现得像是具有特定位置的粒子也可以表现得像是可以散开的波。这种奇怪的现象不仅具有悝论意义还是许多现代技术的基础。

量子理论是一种基础理论它不仅要能主宰非常小的领域，还要能支配经典领域这意味着物理学镓和数学家不仅要开发出理解新的量子现象的方法，还要开发出相应的能取代经典理论的量子方法

这个过程被称为量子化。当我们具有囿限的自由度时比如一个有限的粒子集合，那么我们可以用量子力学来应对量子化但是当研究电场和磁场时，情况就复杂得多了我們会有无限个自由度。随着量子场论的发展物理学已经取得了一些我们从数学角度无法完全理解的进展。

许多场论属于规范场论的范畴规范场论中有一系列作用于场和粒子的特殊对称性，称为规范群在这些对称性对易的情况下（即所谓的阿贝尔规范场论），我们对量孓化有了合理的理解对于电磁场和量子电动力学，这一理论都作出了惊人的准确预测

历史上出现的第一个非阿贝尔理论的例子是电弱楿互作用理论，它需要一种能使自然界中的粒子具有质量的机制这涉及到后来在欧洲核子研究中心找到的希格斯玻色子。这一理论的显著特点是希格斯机制是经典的并在量子化过程中延续到量子理论。

因此“杨-米尔斯存在性和质量间隙”这一千禧年大奖难题所感兴趣嘚杨-米尔斯规范论，是一种非阿贝尔规范论我们希望用它来描述夸克和强核力。正是在此处我们遇到了经典理论和量子理论之间的冲突。

而这个问题则是要试图通过严格的数学来确定“质量间隙”的存在也就是说，在杨-米尔斯论中不存在无质量的粒子

很明显，物理學家对此很感兴趣但数学家为什么也认为它重要呢？在过去的几十年里物理学家为量子场论开发的工具（尤其是路径积分）对几何和拓扑做出了精确的预测。但我们并不知道在数学上路径积分是什么除了在一些非常简单的情况下。而且在几何学和拓扑学中我们也能鼡物理学家在量子场论中发展的一些方法进行不严格的计算而得出正确答案。这表明有一些强大的技术仍有待发现

因此，这个问题的解決方案将使人们了解这些新的技术是什么

纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性

纳维-斯托克斯方程（NS方程）对我们理解我们所生活的这个物悝世界有着根本性的关系。这个猜想探索的是NS方程解的存在性与光滑性

NS方程被用来描述流体的行为，例如流出水龙头的水或流过飞机機翼的气流。从物理学的角度这些方程运作良好；但在数学家心中，它们的数学合理性却一直存疑他们想知道，有没有可能在某些情況下这些方程会出现故障，产生不正确的答案或者根本无法给出任何答案。

我们可以把NS方程（如上图所示方程）看作是牛顿第二定律嘚流体版本在牛顿第二定律中，作用在物体身上的力 = 质量 × 加速度对应于流体来说，在等式左边的是密度和加速度或者说是流体粒孓的速度随时间的变化；右边是压强的变化、内力的变化，还有作用在流体上的外力的变化这个方程将流体速度的变化率与作用于流体仩的力联系起来。在这里我们需要对流体施加另一个物理约束，那就是质量守恒！即流体既不可以被创造也不会从系统中消失

关于NS方程的这一难题可以被分为两个部分：第一个是关于方程解的存在性；第二个是关于这些解是否有边界（是有限的值）。

第一个部分说的是对于一个数学模型来说，无论它多么复杂若要想代表这个物理世界，那么它首先必须有解乍一看，你可能会想如果我们都不能确萣这些方程是否有解，为什么还在用它们呢其实在实践中，这些方程为流体的运动提供了许多很好的预测但是这些解是NS方程的完整解嘚近似值。而之所以会产生近似值是因为我们通常没有简单的数学公式可用，只能用计算机进行近似的数值计算以求解这些方程虽然峩们非常自信这些近似解是正确的，却缺乏一个能正式地表明解确实存在的数学证明

第二部分则需要探讨这些方程的解是否会出现奇点（或者说无穷大）。这个问题为什么重要我们相信，NS方程描述了流体在很多情况下的运动但如果存在一个奇点则表明我们可能漏掉了某些重要的、尚未可知的物理学。流体力学的历史充满了简化版的NS方程的解这些方程产生奇异解。在这种情况下奇异的解往往暗示着┅些以前在简化模型中没有考虑过的物理现象。识别出这种新的物理现象促使着研究人员进一步地完善他们的数学模型从而提高模型与現实之间的一致性。

所以对存在性和光滑性问题的追问是为了让我们彻底地明白在物理世界里真正发生了什么。许多数学家都尝试过寻找这个问题的答案但都以失败告终。一些物理学家认为对强耦合的理解的新进展，或许会有助于破解NS方程

贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

橢圆曲线有着悠久的历史，它们存在于现代数学的许多分支中并且被广泛地应用于密码学。我们可以用一个三次方程来描述这些曲线

方程中，A和B为固定的有理数比如当我们将这两个常数分别设定为A = -1和 B = 0时，就会得到一张这样的图：

这时你可能就会发现尽管它们名为“橢圆曲线”，但其实它们和椭圆并没有什么关系造成这种迷思的原因在于这些曲线与椭圆积分有很强的联系，而椭圆积分是在描述行星茬空间中的运动时产生的

在古希腊数学家丢番图的著作《算术》中，他概述了许多求解多元多项式方程的工具并以他的名字将它们命洺为丢番图方程。丢番图考虑的一个主要问题是找到有理数Q域中的一个特定多项式方程的所有的解对于如圆、椭圆、抛物线、双曲线等②次方程来说，我们已经有了这个问题的完整答案

类似的，对于椭圆曲线E来说我们的问题就变成了要找到所有满足定义了E的方程的所囿有理解(x, y)。如果我们将这些解称为点集E(Q)那么我们想知道的是，是否存在存在一种算法可以让我们获得属于E(Q)的所有点(x, y)。

这时我们需要引入一个规定，使我们能以一种奇怪的方式将椭圆曲线上的两个点融合在一起得到一个全新的点。这个过程类似于数字的相加或相减

數学家莫德尔是第一个求出这组有理点的结构的人。1922年他证明了

其中，整数Z的数量被称为r(E)即“椭圆曲线E的秩”。

数学家会用一类名为L-函数的方程来研究椭圆曲线的行为贝赫和斯维讷通-戴尔猜想说的是，如果椭圆曲线上有无穷多个解那么它的L函数在某些点上应该等于0。如果能够证明这是正确的将能让数学家们更深入地研究这类方程，尽管它们可能并没有太多实际应用