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　　该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用.该部分在试卷中一般

　　1.考小题，重在基础运用

　　考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)、 反函数以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小)。

　　2.考大题，难度明显降低

　　有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期有关的问题.

　　高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。成功永远属于那些准备充分的人们.祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。

　　图象上升时与x轴的交点)为 ，其他依次类推即可。

　　3.五点法作y=Asin(ωx+ )的简图：五点取法是设x=ωx+ ，由x取0、 、π、 、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。3.函数 最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ;其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。

　　4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

　　途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y=sinx的图象向左( >0)或向右( <0=平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω>0)，便得y=sin(ωx+ )的图象。

　　途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω>0)，再沿x轴向左( >0)或向右( <0=平移 个单位，便得y=sin(ωx+ )的图象。

　　要点3：与三角函数的性质有关的问题

　　1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

　　2.三角函数的单调区间： 的递增区间是 ，

　　的递增区间是 ，递减区间是 ，

　　5.求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ 、 ”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

　　要点4：三角变换及求值

　　1.两角和与差的三角函数 ;

　　3.三角函数式的化简

　　常用方法：①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化简要求：①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。(1)降幂公式 ; ; 。(2)辅助角公式

　　4.三角函数的求值类型有三类

　　(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题;

　　(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论;

　　(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

　　要点5：正、余弦定理的应用

　　1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a。

　　(1)三边之间的关系：a2+b2=c2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系：A+B=90°;(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)

　　2.斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。(1)三角形内角和：A+B+C=π。

　　(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

　　。(R为外接圆半径)

　　解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。

　　三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

　　要点7：向量与三角函数的综合

　　平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算;其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算;其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合.向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点.

　　命题角度1 三角函数的图象和性质

　　[专家把脉] 上面解答求出k的范围只能保证y= 的图像与y=k有交点，但不能保证y= 的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点.因此，正确的解答要作出了y= 的图像，运用数形结合的思想求解.

　　[对症下药] 填(1，3)∵ = 作出其图像如图

　　从图5-1中可看出：当1

　　[考场错解]∵将函数y= sin(2x+ )的所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得函数y= sin(x+ )的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y= sin(x+ )= cosx的图像.故选B.

　　将函数y= sin(2x+ )变形为y= sin2(x+ ).若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y= sin(x+ )的图像.再向右平行移动 个单位长度后得y= cosx的图像，选D.

　　[对症下药] 选C 将函数y= sin(2x+ )图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y= sin(x+ )的图像;再向左平行移动子个单位长度后便得y= sin(x+ + )= cosx的图像.故选C.

　　[专家把脉]以上解答错在第(2)小题求函数单调区间时，令 处，因若把 看成一个整体u，则y=sinu的周期为2π。故应令 ， 解得的x范围才是原函数的递增区间.

　　故函数y=f(x)在区间[0,π]上图像是

　　5. 求函数 的最小正周期和最小值;并写出该函数在 上的单调递增区间。

　　故该函数的最小正周期是 ;

　　y=sin( -2x)， y=lgsin(2x+ ))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+ ， -2x，2x+ ,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题.y=Asin(ωx+ )与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平专家会诊移.要注意顺序不同，平移单位也不同.一般地， y=Asib(ωx+ )的图象向左平移a个单位得到y=Asin[ω(x+a)+ ] 的图象，再把其上所有点的横坐标变为原来的 ，即得到y=Asin[ωw1+ωa+ ]的图像.

　　命题角度2三角函数的恒等变形

　　1.设α为第四象限的角，若 ，则tan2α= .

　　[考场错解] 填± ∵

　　将tanα= 时代入上式得

　　[考场错解] ∵ = ∵ 的最大值为1，

　　[对症下药] ∵ = 其中角 满足 由已知有 =4，解之得，a=

　　命题角度3 三角函数的综合应用

　　1.如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.

　　(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数; (Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?

　　=1，即2θ- = 时，S最大.∴当θ= 时，S最大，

　　才大于0.因而原函数 在(0， )先减后增函数，因而2x与3sinx的大小不确定.

　　(3)设 在(0，+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，…，an，…，证明：

　　[专家把脉]上面解答的错误出现在第三小题的证明，设x0是f′(x0)的根，则认为x0是 的一个极值点，没有判断 在( +kπ，x0)和(x0+π+kπ)上的符号是否异号，这显然是错误的.

　　(3)证明：设x0>0是 =0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈( +kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限内.由①式 =cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：

　　所以满足 =0的正根x0都为f(x)的极值点.由题设条件，a1,a2，…，an…为方程x=-tanx 专家会诊

　　处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决.另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解.有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第2、3题.

　　命题角度4 向量及其运算

　　1如图6-1，在 Rt△ABC中，已知BC=a，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹角θ取何值时 . 的值最大?并求出这个最大值.

　　[考场错解] 此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续.

　　[专家把脉] 此题是湖北省20典型例题)已知，a= ，b=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，求实数A的范围.

　　3.已知O为△ABC所在平面内一点且满足 ，则△AOB与△AOC的面积之比为 ( )

　　△AOB的面积与△AOC的面积之比为3：2，选B.

0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比;向量的运算包括两种形式：(1)向量式;(2)坐标式;在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.

　　命题角度5 平面向量与三角、数列

　　[专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.

　　3.在直角坐标平面中，已知点P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整数，对平面上任一点Ao，记A1为Ao关于点P1的对称点，A2为A1，关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点.

　　(1)求向量 的坐标;

　　[考场错解] 第(2)问，由(1)知 =(2，4)，依题意，将曲线C按向量(2，4)平移得到y=f(x)的图像.

　　(2)∵ ={2，4｝，∴f(x)的图像由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.

　　1.(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点F(-m，0)(m是大于0的常数.)

　　(1)求椭圆的方程;

　　(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、 Q的直线l与y 轴交于点M，若 ，求直线l的斜率.

　　[专家把脉] 对 分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λo=-1是错误的.

　　解法2：设AC与BD交于E，连结EM、EO,高中语文，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又M、O分别为CD， AB的中点，∴ ，又E为分别以AB、CD为直径的圆的切点，∴O、C、M三点共线，∴ OM=OE+AB=1，∴M在以原点为圆心1为半径的圆上，轨迹方程为x2+y2=1(x≠0).

　　[专家把脉] 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中 = 是一个很重要的已知条件.

　　F的直线的斜率为k，则方程为y= ，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 得x1=-λx2，联立直线方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]内有两个解，由;次函数的图像知 ，由x=-λx2可得 由韦达定理得8k2= .

　　又 又，代入①得 λ2+μ2=1.故λ2+μ2为定值，定值为1.

　　[专家把脉] 没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A=165°，sinA=此时sinA+cosA= ，显然与sinA+cosA= 的已知条件矛盾.新课标第 一网

　　2.设P是正方形ABCD内部的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别为1、2、3，则正方形的边长是 .

　　[专家把脉]没有考虑x的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三边，∴1

　　解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解，要注意角的范围与三函数值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用△ABC中，A+B+C=π，以及由此推得一些基本关系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sin 等，进行三角变换的运用，判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，。要充分利用正弦定理，余弦定理进行边角转换.

　　2、在 中,角 所对的边分别为 ,且 成等差数列.

　　3、如图，在 中， 是斜边 上一点，且 ，记 .

　　(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ,求 的大小.

　　解：(Ⅰ)由题意知： ， .

　　(Ⅱ)由正弦定理知： ---8分 由(Ⅰ)知 解：(Ⅰ) .…4分

　　5、设函数 .求 的最小正周期 ;已知 分别是 的内角 所对的边， ， 为锐角，且 是函数 在 上的最大值，求

　　解：(1) ………2分

　　4分 …5分∴最小正周期 …6分

　　(2)由(1)知 当 时， ………7分

　　(2)若 为第二象限角，且 ，求 的值.

　　解: (1)∵ ……1分 ，………2分

　　又∵ 为第二象限角，所以 .…11分

　　∴原式 ………12分

　　7、己知函数 (1)求函数 的最小正周期。(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若， 、b=1、c= ，求a的值.

　　所以函数 的最小正周期为 . ……6分

　　点的坐标分别为 ， (Ⅰ).求 和 的值; (Ⅱ)已知 ,且 , 求 的值.

　　9、已知函数 ，若 的最大值为1(1)求 的值，并求 的单调递增区间;(2)在 中，角 、 、 的对边 、 、 ,若 ，且 ，试判断三角形的形状.

　　解：(1) ……………3分

　　由 得 …………5分

　　时， 舍去， …………7分

　　(2) …………10分

　　11、如图，位于 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 海里的 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 且相距 海里的 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 前往 处救援.⑴求线段 的长度及 的值;

　　解：⑴如图所示，在 中， ,

　　⑵ ， .……9分

　　， . ……12分

　　12、如图4，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B;找到一个点D，从D点可以观察到点A，C;找到一个点E，从E点可以观察到点B，C;并测量得到数据： ，

　　在DABC中，由余弦定理 (10分)

　　又 即 3分 又 或

　　由余弦定理得 6分

　　14、如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2， 是正三角形.(1)将四边形ABCD的面积 表示为 的函数;

　　(Ⅱ)求 的最大值及此时的 值.

　　解：(Ⅰ)由余弦定理得

　　(Ⅱ)求 的最大值，并求取得最大值时A,B的大小.

　　(Ⅰ) ， …………..4分

　　16、已知函数 .(Ⅰ)若 ，求 的值;

　　(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围.

　　解：(Ⅰ)由题意得： …3分

　　17、已知向量 .(I )当m//n时，求 的值;(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边， ，函数 ，求 的取值范围.

　　∴ .…………4分

　　由正弦定理知： ，∴ ，可解得 .………6分

　　即 .…………12分

　　18、在△ 中，向量 ，向量 ，且满足

　　因为 ，所以 ，即 ，即

　　所以 ，即 的取值范围是 . (12分)

　　19、在 中，角A、B、C的对边分别为 ，且满足

　　(1)求角B的大小;(2)若 ，求 面积的最大值.

　　解：(1)条件可化为： .根据正弦定理有

　　有基本不等式可知 .

　　即 ，故△ABC的面积 .

　　即当a =c= 时，△ABC的面积的最大值为 .… 14分

　　解：(Ⅰ) …2分

　　(Ⅱ)由条件知 所以 ,

　　所以 因为 ,所以 即

　　于是 ………10分

　　,得 ……………12分

　　∴ ，即 ………………14分

　　(责任编辑：郭峰)

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