二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能今天介绍一种针对有序数据集合的查找算法：二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，但是看似越简单的东西往往越难掌握好，想要灵活应用就更加困难。老规矩，我们还是来看一道思考题。假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做呢？带着这个问题，让我们进入今天的内容吧！无处不在的二分思想二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个 0 到 99 之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。你来想想，如何快速猜中我写的数字呢？假设我写的数字是 23，你可以按照下面的步骤来试一试。（如果猜测范围的数字有偶数个，中间数有两个，就选择较小的那个。）7 次就猜出来了，是不是很快？这个例子用的就是二分思想，按照这个思想，即便我让你猜的是 0 到 999 的数字，最多也只要 10 次就能猜中。这是一个生活中的例子，我们现在回到实际的开发场景中。假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null。最简单的办法当然是从第一个订单开始，一个一个遍历这 1000 个订单，直到找到金额等于 19 元的订单为止。但这样查找会比较慢，最坏情况下，可能要遍历完这 1000 条记录才能找到。那用二分查找能不能更快速地解决呢？为了方便讲解，我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。还是利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。为了更加直观，我画了一张查找过程的图。其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。看懂这两个例子，你现在对二分的思想应该掌握得妥妥的了。我这里稍微总结升华一下，二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。O(logn) 惊人的查找速度二分查找是一种非常高效的查找算法，高效到什么程度呢？我们来分析一下它的时间复杂度。我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空才停止。可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。二分查找是我们目前为止遇到的第一个时间复杂度为 O(logn) 的算法。后面章节我们还会讲堆、二叉树的操作等等，它们的时间复杂度也是 O(logn)。我这里就再深入地讲讲 O(logn) 这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。我们前面讲过，用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。反过来，对数对应的就是指数。有一个非常著名的“阿基米德与国王下棋的故事”，你可以自行搜索一下，感受一下指数的“恐怖”。这也是为什么我们说，指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的。二分查找的递归与非递归实现实际上，简单的二分查找并不难写，注意我这里的“简单”二字。下一节，我们会讲到二分查找的变体问题，那才是真正烧脑的。今天，我们来看如何来写最简单的二分查找。最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。我用 Java 代码实现了一个最简单的二分查找算法。public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) / 2;
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
这个代码我稍微解释一下，low、high、mid 都是指数组下标，其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围，初始 low=0， high=n-1。mid 表示[low, high]的中间位置。我们通过对比 a[mid]与 value 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为 0，就退出。如果你有一些编程基础，看懂这些应该不成问题。现在，我就着重强调一下容易出错的 3 个地方。1. 循环退出条件注意是 low<=high，而不是 low<high。2. mid 的取值实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。3. low 和 high 的更新low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。如果你留意我刚讲的这三点，我想一个简单的二分查找你已经可以实现了。实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现，过程也非常简单。// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
if (low > high) return -1;
int mid =
low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
} else {
return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
}
}
二分查找应用场景的局限性前面我们分析过，二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢？首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。其次，二分查找针对的是有序数据。二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？别急，等到二叉树那一节我会详细讲。再次，数据量太小不适合二分查找。如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。最后，数据量太大也不适合二分查找。二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。解答开篇二分查找的理论知识你应该已经掌握了。我们来看下开篇的思考题：如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数？这个问题并不难。我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。借助今天讲的内容，我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。看起来这个问题并不难，很轻松就能解决。实际上，它暗藏了“玄机”。如果你对数据结构和算法有一定了解，知道散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构。你可能会觉得，用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，我们后面会讲，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。二分查找（下）：如何快速定位IP对应的省份地址通过 IP 地址来查找 IP 归属地的功能，不知道你有没有用过？没用过也没关系，你现在可以打开百度，在搜索框里随便输一个 IP 地址，就会看到它的归属地。这个功能并不复杂，它是通过维护一个很大的 IP 地址库来实现的。地址库中包括 IP 地址范围和归属地的对应关系。当我们想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]这个地址范围内，那我们就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。现在我的问题是，在庞大的地址库中逐一比对 IP 地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢？是不是觉得比较难？不要紧，等学完今天的内容，你就会发现这个问题其实很简单。前面我讲了二分查找的原理，并且介绍了最简单的一种二分查找的代码实现。今天我们来讲几种二分查找的变形问题。不知道你有没有听过这样一个说法：“十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”你可能会说，我们上一节学的二分查找的代码实现并不难写啊。那是因为上一节讲的只是二分查找中最简单的一种情况，在不存在重复元素的有序数组中，查找值等于给定值的元素。最简单的二分查找写起来确实不难，但是，二分查找的变形问题就没那么好写了。二分查找的变形问题很多，我只选择几个典型的来讲解，其他的你可以借助我今天讲的思路自己来分析。需要特别说明一点，为了简化讲解，今天的内容，我都以数据是从小到大排列为前提，如果你要处理的数据是从大到小排列的，解决思路也是一样的。同时，我希望你最好先自己动手试着写一下这 4 个变形问题，然后再看我的讲述，这样你就会对我说的“二分查找比较难写”有更加深的体会了。变体一：查找第一个值等于给定值的元素上一节中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗？比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素。如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿 8 与区间的中间值 a[4]比较，8 比 6 大，于是在下标 5 到 9 之间继续查找。下标 5 和 9 的中间位置是下标 7，a[7]正好等于 8，所以代码就返回了。尽管 a[7]也等于 8，但它并不是我们想要找的第一个等于 8 的元素，因为第一个值等于 8 的元素是数组下标为 5 的元素。我们上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下上一节的代码。100 个人写二分查找就会有 100 种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
if (low < n && a[low]==value) return low;
else return -1;
}
看完这个实现之后，你是不是觉得很不好理解？如果你只是死记硬背这个写法，我敢保证，过不了几天，你就会全都忘光，再让你写，90% 的可能会写错。所以，我换了一种实现方法，你看看是不是更容易理解呢？public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid =
low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0)
(a[mid - 1] != value)) return mid;
else high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
我来稍微解释一下这段代码。a[mid]跟要查找的 value 的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于 a[mid]>value 的情况，我们需要更新 high= mid-1；对于 a[mid]<value 的情况，我们需要更新 low=mid+1。这两点都很好理解。那当 a[mid]=value 的时候应该如何处理呢？如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。我们重点看第 11 行代码。如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 a[mid]的前一个元素 a[mid-1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。如果经过检查之后发现 a[mid]前面的一个元素 a[mid-1]也等于 value，那说明此时的 a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解？实际上，**很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。**而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没 Bug，其实更重要，所以我觉得第二种写法更好。变体二：查找最后一个值等于给定值的元素前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，我现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素，又该如何做呢？如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决。你可以先试着实现一下，然后跟我写的对比一下。public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid =
low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1)
(a[mid + 1] != value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
我们还是重点看第 11 行代码。如果 a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果 a[mid]的后一个元素 a[mid+1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。如果我们经过检查之后，发现 a[mid]后面的一个元素 a[mid+1]也等于 value，那说明当前的这个 a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。变体三：查找第一个大于等于给定值的元素现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。实际上，实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid =
low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0)
(a[mid - 1] < value)) return mid;
else high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。是不是有点类似上面那一种？实际上，实现思路也是一样的。有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。我把代码贴出来，你可以写完之后对比一下。public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid =
low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if ((mid == n - 1)
(a[mid + 1] > value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
解答开篇好了，现在我们回头来看开篇的问题：如何快速定位出一个 IP 地址的归属地？现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。IP 地址的归属地？现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

package day1_test;import java.util.Scanner;public class Dmon3 {public static void main(String[] args) {
// 练习二分查找法
int [] a= {38,43,5,536,43453,24,45,6,2};
int temp;
for(int i = 0;i<a.length;i++) {//这是表示轮数
for(int j =0;j<a.length-i-1;j++) {//内层循环表示每一轮要进行几次比较
if(a[j]>a[j+1]) {//判断交换条件
temp =a[j];
a[j]=a[j+1];
a[j+1]=temp;//二分查找先需要一个有序的数组用之前的冒泡排序排好了
}
}
}
for(int i=0;i<a.length-1;i++)
System.out.print(a[i]+" ");//到这里只是建立了一个有序的数组
int maxNum = a.length-1,minNum = 0, centre = (maxNum+minNum)/2;//确立查找范围
int count=1;//建立一个判断变量判断是否输出是数组中的第几个值
System.out.println("piease input number");//提示信息
Scanner input=new Scanner(System.in);//用户输入想查找的数字
int Number =input.nextInt();
while(true) {//这里用while循环是因为我们并不知道查找次数
if(a[centre]>Number) {
maxNum=centre -1;//当要查的数字小于中间数时让最大数的范围变成中间数前一个因为中间数已经比较过了所以是前一个
}
else if(a[centre]<Number) {
minNum=centre+1;//同理
}
else {
break;//当只有最大值和最小值相等时跳出循环中间数是我们要找的数
}
centre = (maxNum+minNum)/2;//如果没有找到则变换为新范围的中间值
if(maxNum<minNum) {
System.out.println("数字不存在");//当最大值跳到最小值后面时说明全部查完后也没有找到
count=-1;//用于判断下面的是否输出
break;
}
}
if(count!=-1);//
System.out.println("你输入的数字是第"+(centre+1)+"个");
}
}
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在上一篇文章中（ 二分查找法搜寻元素 Leetcode35, Leetcode69 ），我们分析了二分查找法的两种经典思路。现在我们再来挑战一下更复杂的情况：Leetcode 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置。这道题的数组中可能有重复元素，需要求出值为 target 的元素范围，以 [ 第一个值为 target 的元素索引, 最后一个值为 target 的元素索引 ] 的方式返回。如果没有，就返回 [ -1, -1]。在此之前，我们都是把二分查找法用于无重复元素的排序数组中搜寻，每个元素的值都是唯一的，只有找到和找不到两种可能。而这道题难在要求出重复元素的范围，也就是说，找到一个值为 target 的元素也不一定符合要求。解决这类问题的关键点在于：当搜寻区间的中间点取值等于 target 时，我们不能止步于此，还要继续搜寻它的左右区间有没有等于 target 的元素，以此来找到重复元素范围的起点和终点。
建议您先看一下上一篇文章（二分查找法搜寻元素 Leetcode35, Leetcode69）的第二部分：查找取值与 target 最接近的元素，对于理解这个题目的解决思路有帮助。
方法一、标准二分查找法 while left <= right基于标准二分查找 ( while left <= right )，做了一点改动：当 nums[middle] 的值等于 target 时，不能马上返回 middle 结束循环，用一个 index 变量（初始设为 -1）保存此时的 middle 值，然后： 搜索起始点：要在左区间 [ left, middle - 1] 继续搜寻有没有等于 target 的元素。因此，当 nums[middle] == target 时，设置 index = middle, right = middle - 1。 while 循环结束时，index 的值就是所能找到的等于 target 的元素的最小索引，也就是我们要找的起始点。
搜索终止点：要在右区间 [ middle +1, right ] 继续搜寻有没有等于 target 的元素。因此，当 nums[middle] == target 时，设置 index = middle, left = middle + 1。 while 循环结束时，index 的值就是所能找到的等于 target 的元素的最大索引，也就是我们要找的终止点。 对比这两次查找会发现，搜索起始点和搜索终止点的二分查找在处理 nums[middle] 不等于 target 时的操作完全一样，只是在 nums[middle] 等于 target 时有不同：要根据找起点或终点来决定是继续在左区间或右区间搜寻。为了减少重复代码，可以用一个函数 searchTarget 来实现两次查找，设置一个 Boolean 变量 isSearchFirst 来标识搜寻起点或终点。具体 Python 代码如下：# 数组为空的情况
if not nums:
return [-1, -1]
def searchTarget(nums, target, isSearchFirst):
# 用idx保存等于target的middle元素
# 初始值为-1
idx = -1
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
middle = left + (right - left) // 2
if nums[middle] == target:
idx = middle
# 寻找起点和终点的二分查找代码只有这里不同
# isSearchFirst为True,搜寻起点。
# 下一步在左区间搜寻
if isSearchFirst:
right = middle - 1
# isSearchFirst为False,搜寻终点
# 下一步在右区间搜寻
else:
left = middle + 1
elif nums[middle] < target:
left = middle + 1
else:
right = middle - 1
return idx
# 搜寻元素起始点
firstPos = searchTarget(nums, target, True)
# 如果没找到，直接返回 [-1, -1]
if firstPos == -1:
return [-1,-1]
else:
# 搜寻元素终点
lastPos = searchTarget(nums, target, False)
return [firstPos, lastPos]
方法二、二分查找法之二 while left < right这个方法 while 循环的条件是 left < right，与上述方法在 nums[middle] 的值等于 target 时的处理类似，不同之处：1.这个方法没有用变量保存索引，而是循环结束后再判断得到 ；2.下一步的搜寻区间包含了 middle： 搜索起始点：在包含 middle 的左区间 [ left, middle ] 继续寻找，因此设置 right = middle。这个操作与 nums[middle] > target 时可以合并为：当 nums[middle] >= target 时，right = middle。当 nums[middle] < target 时，left = middle + 1。 循环结束后，如果 nums[left] == target（left 或 right 均可，因为 left = right），left 就是我们要找的起点，否则说明数组中没有值为 target 的元素。
搜索终止点：在包含 middle 的右区间 [ middle, right ] 继续寻找，因此设置 left = middle。这个操作与 nums[middle] < target 时可以合并为：当 nums[middle] <= target 时，left = middle。当 nums[middle] > target 时，right = middle - 1。 这里有一个问题：while 循环到只有两个元素时，如果按照原有的求解 middle 方式，middle = left。当 nums[middle] <= target 时，又有 left = middle，这样没有更新搜寻区间，循环无法停止。解决方式很巧妙：设置 middle = ( left + right ) / 2 + 1，把 middle 往右边偏移。最后一次循环时有 middle = right，循环可以终止。 循环结束后，left 就是我们要找的终点。 Python 代码如下：# 数组为空的情况
if not nums:
return [-1, -1]
# result数组保存返回索引
result = [-1, -1]
# 确定重复元素起点的搜寻区间
left, right = 0, len(nums) - 1
while left < right:
middle = left + (right - left) // 2
if nums[middle] >= target:
# 继续在左区间[left, middle]搜寻
right = middle
else:
left = middle + 1
if nums[left] != target:
return result
else:
result[0] = left
# 确定重复元素终点的搜寻区间
# 此时区间的起点left就设置为刚找到的起点
right = len(nums) - 1
while left < right:
middle = left + (right - left + 1) // 2
if nums[middle] <= target:
# 继续在右区间[middle, right]搜寻
left = middle
else:
right = middle - 1
result[1] = left
return result
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